Persamaan medan Einstein (EFE) dapat dituliskan dalam bentuk:[1]

R μ ν − 1 2 g μ ν R + g μ ν Λ = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}

di mana R μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }\,} adalah tensor lengkungan Ricci, R {\displaystyle R\,} the lengkungan skalar, g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\,} tensor metrik, Λ {\displaystyle \Lambda \,} is the cosmological constant, G {\displaystyle G\,} adalah graviti tetap, c {\displaystyle c\,} had laju cahaya, and T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }\,} tensor tekanan tenaga.

EFE adalah sebuah persamaan tensor berkaitan dengan set tensor 4 x 4 bersimetri. Ia dituliskan sini menggunakan catatan indeks abstrak. Tiap tensor mempunyai 10 komponen bebas. Memberikan pilihan empat koordinat ruang waktu, persamaan bebas dikurangkan ke 6 dalam bilangan.

Walaupun persamaan Einstain telah secara bermula dirumuskan ke dalam konteks teori empat dimensi, sesetengah ahli teori telah menjelajahi akibat mereka dalam dimensi n. Persamaan dalam konteks di luar kerelatifan am masih dirujukkan persamaan medan Einstein. Persamaan medan penyebut mentakrifkan berlipat ganda Einstein.

Sungguhpun kemunculan ringkas persamaan adalah, ternyata, agak rumit. Memberikan suatu pengedaran khusus jirim dan tenaga dalam bentuk tensor tenaga tekanan, EFE difahami dijadikan persamaan untuk tensor metrik g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} , dengan tensor Ricci dan lengkungan berskala tergantung pada metrik pada suatu cara bukan garisan lurus yang rumit. Ternayata, apabila ditulis penuh, EFE adalah sebuah sistem 10 dipasangankan, bukan garisan lurus, persamaan kebezaan separuh hiperbolik-eliptik.

Seorang dapat menulis EFE dalam bentuk lebih padat dengan mentakrifkan tensor Einstein

G μ ν = R μ ν − 1 2 R g μ ν , {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },}

yang adalah tensor yang kedudukan kedua bersimetri yang fungsinya metrik. EFE dapat dituliskan sebagai

G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , {\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}

di mana istilah berkosmologi telah diserapkan ke dalam tensor tenaga tekanan sebagai tenaga gelap.

Menggunakan unit bergeometri di mana G = c = 1, ini dapat dituliskan semula sebagai

G μ ν = 8 π T μ ν . {\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.}

Penjelasan pada kiri mewakili lengkunagan ruang waktu seperti ditentukan oleh metrik dan penjelasan kanan mewakili kandungan jirim/tenaga waktu angkasa. EFE dapat kemudian menterjemahkan sebagai suatu set persamaan menetapkan bagaimana kelengkungan ruangmasa berkaitan dengan kangunan perkara/tenaga alam.

Persamaan ini, bersama dengan persamaan geodesik, membentukkan teras rumusan matematik kerelatifan am.

Resam tanda

Bentuk di atas EFE adalah piawai didirikan oleh Misner, Thorne, dan Wheeler. Para pengarang tersebut menganalisiskan semua resam yang wujud dan mengklasifikasikan menurut tiga tanda berikut (S1, S2, S3):

g μ ν     = [ S 1 ] × diag ⁡ ( − 1 , + 1 , + 1 , + 1 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }~~=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)} R a β γ μ = [ S 2 ] × ( Γ a γ , β μ − Γ a β , γ μ + Γ σ β μ Γ γ a σ − Γ σ γ μ Γ β a σ ) {\displaystyle R_{a\beta \gamma }^{\mu }=[S2]\times (\Gamma _{a\gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{a\beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma a}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta a}^{\sigma })} G μ ν     = [ S 3 ] × 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }~~=[S3]\times {8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}

Tanda ketiga di atas berkaitan dengan pilihan resam untuk tensor Ricci:

R μ ν = [ S 2 ] × [ S 3 ] × R μ a ν a {\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times R_{\mu a\nu }^{a}}

Dengan takrifan ini Misner, Thorne, dan Wheeler mengklasifikasikan diri mereka sebagai ( + + + ) {\displaystyle (+++)\,} , sedangkan Weinberg (1972) ialah ( + − − ) {\displaystyle (+--)\,} , Peebles (1980) dan Efstathiou (1990) ialah ( − + + ) {\displaystyle (-++)\,} sementara Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) ialah ( − + − ) {\displaystyle (-+-)\,} .

Para pengarang termasuk Einstein telah menggunakan tanda berlainan dalam takrifan mereka untuk tensor Ricci yang mengakibatkan tanda tetap pada belah kanan dijadikan negatif

R μ ν − 1 2 g μ ν R − g μ ν Λ = − 8 π G c 4 T μ ν . {\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R-g_{\mu \nu }\Lambda =-{8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}

Tanda pada istilah kosmologi (yang sangat kecil) akan mengubah dalam kedua-dua versi ini, jika resam tanda metrik +--- digunakan daripada resam tanda metrik MTW −+++ digunakan di sini.

Rumusan sama

Persamaan medan Einstein dapat dituliskan semula dalam bentuk "berbalik-kesan" yang berikut

R μ ν − g μ ν Λ = 8 π G c 4 ( T μ ν − 1 2 T g μ ν ) {\displaystyle R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu })}

yang dapat menjadi lebih mudah dalam sesetengah perkara (contohnya, apabila seorang minat had medan lemah dan dapat menggantikan g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} dalam penjelasan di kanan dengan tensor Minkowski tanpa kehilangan besar pada ketepatan).